A stochastic version of the Jansen and Rit neural mass model: analysis, numerics and filtering

In dieser Dissertation betrachten wir das neuronale Massenmodell von Jansen und Rit, das ein nützliches Rahmenkonzept zur Modellierung von mesoskopischen neuralen Dynamiken bildet. Wir formulieren davon eine stochastische Version, die bei der Berücksichtigung von randomisierten Inputs entsteht und die Struktur eines gedämpften stochastischen Hamiltonschen Systems mit nichtlinearer Verschiebung besitzt. Wir untersuchen die Pfadeigenschaften dieses Systems von stochastischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und leiten Schranken für die Momente der Lösung her. Weiters studieren wir das asymptotische Verhalten des Modells und zeigen Langzeitstabilitätsresultate mittels des Nachweises der geometrischen Ergodizität des Systems, was bedeutet, dass das System – unabhängig von seinen Anfangswerten – immer gegen ein invariantes Maß konvergiert. Wir schließen den ersten Teil dieser Dissertation mit der Simulation des stochastischen neuronalen Massenmodells von Jansen und Rit ab, wobei wir ein effizientes numerisches Splitting-Schema verwenden, das die qualitativen Eigenschaften der Lösung des Modells erhält.
Ein weiteres Ziel dieser Dissertation ist der Einsatz des stochastischen neuronalen Massenmodells von Jansen und Rit als zugrundeliegende Dynamik in einem nichtlinearen Filter-Framework, um das inverse Problem zu lösen und dieses auch numerisch durch einen zeitkontinuierlichen Partikelfilter zu approximieren. Wir nutzen die Vorteile des effizienten und strukturerhaltenden numerischen Splitting-Integrators zur Approximation des zeitkontinuierlichen Partikelfilters und erforschen seine Auswirkung auf die Resultate des Filters. Dies führt dazu, dass für eine vorgegebene Genauigkeit des Filters die Anzahl der Diskretisierungsschritte signifikant reduziert werden kann, wenn das Splitting-Schema im Vergleich zu Standard-Integratoren wie das Euler–Maruyama-Schema verwendet wird. Wir schließen diese Dissertation mit einer Studie
über die Auswirkung von numerischen Approximationen des neuronalen Massenmodells von Jansen und Rit auf verschiedene nichtlineare Filtertechniken ab und schlussfolgern für spezifische Parameter des Modells, dass der Fehler, der aus einem unsachgemäßen numerischen Zeitdiskretisierungsschema entsteht, nicht durch eine bessere Approximation der Modellstatistiken mittels ausgeklügelter Filtermethoden verbessert werden kann.